Zu erheblichen Verstimmungen zwischen NASA und RAKA führten die Umstände der Sojus TM-​32  Mission. Zunächst war die NASA sehr unglücklich über den Umstand, daß mit Dennis Tito erstmals ein Tourist einen Flug zur ISS unternahm. Der amerikanische Multimillionär, der einst als Ingenieur für das amerikanische Weltraumprogramm gearbeitet hatte und später als Finanzmakler zu Reichtum gelangt war, hatte beim privaten Unternehmen MirCorp einen Flug zur Raumstation Mir gebucht. Doch deren Betrieb endete früher, als sein Flug startbereit war. Daraufhin wurde er von russischer Seite auf die ISS „umgebucht“. Erst zwei Wochen vor dem Starttermin lenkte die NASA ein, die dem Ansinnen bis dahin ablehnend gegenübergestanden hatte. Doch wurde Titos Aufenthalt auf der ISS stark reglementiert. Im amerikanischen Segment durfte er sich nur in Begleitung eines US Astronauten aufhalten. Und er mußte unterschreiben, für eventuell von ihm verursachte Schäden aufzukommen. Während in Baikonur die Startvorbereitungen liefen, ging bei der russischen Raumfahrtbehörde die Bitte ein, den Sojus Start um einige Tage zu verschieben. Dies hatte allerdings nichts mit Tito zu tun. Vielmehr war es auf der ISS zu massiven Computerproblemen gekommen. Daraufhin war der Aufenthalt der US Raumfähre „Endeavour“ an der ISS um zunächst einen Tag verlängert worden. Sollte das Shuttle die ISS noch nicht verlassen haben, wenn die Sojus dort eintraf, stand ein riskantes Rendezvous-​Manöver an. Der freie Docking-​Port war nämlich so nah neben demjenigen, an dem die „Endeavour“ angelegt hatte, daß zwischen den beiden Raumschiffen nur 20 cm Freiraum blieben. Die NASA wollte daher das Risiko einer Kollision vermeiden und bat um eine Startverschiebung. Doch die RAKA bestand auf dem einmal vereinbarten Starttermin. Also hob die Sojus-​U 11A511U Rakete mit Sojus TM-​32  am 28.04.2001 um 07:37 UTC in Baikonur ab. Nur einen halben Tag, nachdem die „Endeavour“ die ISS verlassen hatte, traf die Sojus dort ein. Die Kopplung erfolgte am 30.04.2001 um 07:58 UTC am erdzugewandten Port des „Sarja“ Moduls. Wenig später wechselte Weltraumtourist Tito, der für dieses Erlebnis mindestens 20 Mio. $ gezahlt hatte, gemeinsam mit Kommandant Talgat Musabajew und Bordingenieur Juri Baturin in die ISS hinüber. Vereinbarungsgemäß hielt sich Tito die meiste Zeit im russischen „Swjesda“ Modul auf. Doch auch die anderen Bereiche der Station durfte er besuchen. Mussabajew und Baturin, beide mit Erfahrungen aus dem Mir Programm, durften sich ebenfalls mit den Gegebenheiten der Raumstation vertraut machen. Nach einem knapp einwöchigen Aufenthalt auf der ISS stand bereits die Rückkehr zur Erde an. Die drei Raumfahrer tauschten ihre Konturensitze mit jenen aus Sojus TM-​31 . Die ISS Stammbesatzung verfügte nun über ein neues Rettungsraumschiff, während ihre Gastmannschaft am 06.05.2001 um 02:21 UTC mit dem alten von der Station ablegte. Nach einigen abschließenden Systemtests manövrierte Sojus TM-​31  auf eine eigene Umlaufbahn und um 04:47 UTC wurde das entscheidende Retromanöver eingeleitet. Die Landung fand nach 190:04 h um 05:41 UTC 46 km nordwestlich von Arkalyk in der kasachischen Steppe statt. Minuten später waren die Bergungsmannschaften vor Ort.